Chirp Z 变换

Chirp Z 变换也被称为 Bluestein 算法。与离散傅里叶变换类似，Chirp Z 变换是给出多项式 A(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\in\mathbb{C}\lbrack x\rbrack 和 c\in\mathbb{C}\setminus \{0\} 求出 A(1),A(c),A(c^2),\dots 的一种算法，不要求 c 为单位根。也可用于数论变换。

方法一

令幂级数 A_0(x)=\sum_{i\geq 0}a_ic^{i^2}x^i 且对于 \forall j\gt n 令 a_j=0 、 B_0(x)=\sum _ {i\geq 0}c^{-(i-n)^2}x^i ，对于 t\geq 0 有

\begin{aligned} \lbrack x^{n+t}\rbrack (A_0(x)B_0(x))&=\sum_{i=0}^{n+t}\left(\lbrack x^i\rbrack A_0(x)\right)\left(\lbrack x^{n+t-i}\rbrack B_0(x)\right)\\ &=\sum_{i=0}^{n+t}a_ic^{i^2-(i-t)^2}\\ &=c^{-t^2}\sum_{i=0}^{n+t}a_ic^{2it}\\ &=c^{-t^2}A(c^{2t}) \end{aligned}

通过计算 c^{t^2}\lbrack x^{n+t}\rbrack (A_0(x)B_0(x)) 可得到 A(1),A(c^2),\dots 。而对于 A(c),A(c^3),\dots 可构造 A(cx) 后同理，该算法需两次卷积。因为我们从 x^n 开始提取系数，所以可以利用循环卷积。

方法二

对于非负整数 k 和 i 考虑

ki=\binom{i+k}{2}-\binom{i}{2}-\binom{k}{2}

其中 \binom{a}{b}=\frac{a(a-1)\cdots (a-b+1)}{b!} 为二项式系数，那么

A(c^k)=c^{-\binom{k}{2}}\sum _ {i=0}^na_ic^{\binom{i+k}{2}-\binom{i}{2}}

令 A_0(x)=\sum_{i}a_{n-i}c^{-\binom{n-i}{2}}x^i 且对于 \forall j\gt n 和 \forall j\lt 0 令 a_j=0 、 B_0(x)=\sum_{i\geq 0}c^{\binom{i}{2}}x^i 那么对于 t\geq 0 有

\begin{aligned} \lbrack x^{n+t}\rbrack (A_0(x)B_0(x))&=\sum _ {i=0}^{n+t}\left(\lbrack x^{n+t-i}\rbrack A_0(x)\right)\left(\lbrack x^{i}\rbrack B_0(x)\right)\\ &=\sum_{i=0}^{n+t}a_{i-t}c^{\binom{i}{2}-\binom{i-t}{2}}\\ &=\sum_{i=-t}^na_ic^{\binom{i+t}{2}-\binom{i}{2}}\\ &=c^{\binom{t}{2}}\cdot A(c^t) \end{aligned}

通过计算 c^{-\binom{t}{2}}\lbrack x^{n+t}\rbrack (A_0(x)B_0(x)) 可得到 A(1),A(c),\dots ，该算法需一次卷积。且 \forall i\geq 0 有 c^{\binom{i+1}{2}}=c^{\binom{i}{2}}\cdot c^i ，可递推计算。

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