Z 函数（扩展 KMP）

约定：字符串下标以 0 为起点。

对于个长度为 n 的字符串 s 。定义函数 z[i] 表示 s 和 s[i,n-1] （即以 s[i] 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度。 z 被称为 s 的 Z 函数。特别地， z[0] = 0 。

国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm，而国内则称其为 扩展 KMP。

这篇文章介绍在 O(n) 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用。

样例

下面若干样例展示了对于不同字符串的 Z 函数：

  • z(\mathtt{aaaaa}) = [0, 4, 3, 2, 1]
  • z(\mathtt{aaabaab}) = [0, 2, 1, 0, 2, 1, 0]
  • z(\mathtt{abacaba}) = [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1]

朴素算法

Z 函数的朴素算法复杂度为 O(n^2) ：

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// C++ Version
vector<int> z_function_trivial(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1; i < n; ++i)
    while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
  return z;
}

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# Python Version
def z_function_trivial(s):
    n = len(s)
    z = [0] * n
    for i in range(1, n):
        while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
            z[i] += 1
    return z

线性算法

如同大多数字符串主题所介绍的算法，其关键在于，运用自动机的思想寻找限制条件下的状态转移函数，使得可以借助之前的状态来加速计算新的状态。

在该算法中，我们从 1 到 n-1 顺次计算 z[i] 的值（ z[0]=0 ）。在计算 z[i] 的过程中，我们会利用已经计算好的 z[0],\ldots,z[i-1] 。

对于 i ，我们称区间 [i,i+z[i]-1] 是 i 的 匹配段，也可以叫 Z-box。

算法的过程中我们维护右端点最靠右的匹配段。为了方便，记作 [l,r] 。根据定义， s[l,r] 是 s 的前缀。在计算 z[i] 时我们保证 l\le i 。初始时 l=r=0 。

在计算 z[i] 的过程中：

  • 如果 i\le r ，那么根据 [l,r] 的定义有 s[i,r] = s[i-l,r-l] ，因此 z[i]\ge \min(z[i-l],r-i+1) 。这时：
    • 若 z[i-l] < r-i+1 ，则 z[i] = z[i-l] 。
    • 否则 z[i-l]\ge r-i+1 ，这时我们令 z[i] = r-i+1 ，然后暴力枚举下一个字符扩展 z[i] 直到不能扩展为止。
  • 如果 i>r ，那么我们直接按照朴素算法，从 s[i] 开始比较，暴力求出 z[i] 。
  • 在求出 z[i] 后，如果 i+z[i]-1>r ，我们就需要更新 [l,r] ，即令 l=i, r=i+z[i]-1 。

可以访问 这个网站 来看 Z 函数的模拟过程。

实现

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// C++ Version
vector<int> z_function(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1, l = 0, r = 0; i < n; ++i) {
    if (i <= r && z[i - l] < r - i + 1) {
      z[i] = z[i - l];
    } else {
      z[i] = max(0, r - i + 1);
      while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
    }
    if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
  }
  return z;
}

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# Python Version
def z_function(s):
    n = len(s)
    z = [0] * n
    l, r = 0, 0
    for i in range(1, n):
        if i <= r and z[i - l] < r - i + 1:
            z[i] = z[i - l]
        else:
            z[i] = max(0, r - i + 1)
            while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
                z[i] += 1
        if i + z[i] - 1 > r:
            l = i
            r = i + z[i] - 1
    return z

复杂度分析

对于内层 while 循环，每次执行都会使得 r 向后移至少 1 位，而 r< n-1 ，所以总共只会执行 n 次。

对于外层循环，只有一遍线性遍历。

总复杂度为 O(n) 。

应用

我们现在来考虑在若干具体情况下 Z 函数的应用。

这些应用在很大程度上同 前缀函数 的应用类似。

匹配所有子串

为了避免混淆，我们将 t 称作 文本，将 p 称作 模式。所给出的问题是：寻找在文本 t 中模式 p 的所有出现（occurrence）。

为了解决该问题，我们构造一个新的字符串 s = p + \diamond + t ，也即我们将 p 和 t 连接在一起，但是在中间放置了一个分割字符 \diamond （我们将如此选取 \diamond 使得其必定不出现在 p 和 t 中）。

首先计算 s 的 Z 函数。接下来，对于在区间 [0,|t| - 1] 中的任意 i ，我们考虑以 t[i] 为开头的后缀在 s 中的 Z 函数值 k = z[i + |p| + 1] 。如果 k = |p| ，那么我们知道有一个 p 的出现位于 t 的第 i 个位置，否则没有 p 的出现位于 t 的第 i 个位置。

其时间复杂度（同时也是其空间复杂度）为 O(|t| + |p|) 。

本质不同子串数

给定一个长度为 n 的字符串 s ，计算 s 的本质不同子串的数目。

考虑计算增量，即在知道当前 s 的本质不同子串数的情况下，计算出在 s 末尾添加一个字符后的本质不同子串数。

令 k 为当前 s 的本质不同子串数。我们添加一个新的字符 c 至 s 的末尾。显然，会出现一些以 c 结尾的新的子串（以 c 结尾且之前未出现过的子串）。

设串 t 是 s + c 的反串（反串指将原字符串的字符倒序排列形成的字符串）。我们的任务是计算有多少 t 的前缀未在 t 的其他地方出现。考虑计算 t 的 Z 函数并找到其最大值 z_{\max} 。则 t 的长度小于等于 z_{\max} 的前缀的反串在 s 中是已经出现过的以 c 结尾的子串。

所以，将字符 c 添加至 s 后新出现的子串数目为 |t| - z_{\max} 。

算法时间复杂度为 O(n^2) 。

值得注意的是，我们可以用同样的方法在 O(n) 时间内，重新计算在端点处添加一个字符或者删除一个字符（从尾或者头）后的本质不同子串数目。

字符串整周期

给定一个长度为 n 的字符串 s ，找到其最短的整周期，即寻找一个最短的字符串 t ，使得 s 可以被若干个 t 拼接而成的字符串表示。

考虑计算 s 的 Z 函数，则其整周期的长度为最小的 n 的因数 i ，满足 i+z[i]=n 。

该事实的证明同应用 前缀函数 的证明一样。

练习题目

本页面主要译自博文 Z-функция строки и её вычисление 与其英文翻译版 Z-function and its calculation。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

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