欧拉函数

欧拉函数的定义

欧拉函数（Euler's totient function），即 \varphi(n) ，表示的是小于等于 n 和 n 互质的数的个数。

比如说 \varphi(1) = 1 。

当 n 是质数的时候，显然有 \varphi(n) = n - 1 。

欧拉函数的一些性质

  • 欧拉函数是积性函数。

    积性是什么意思呢？如果有 \gcd(a, b) = 1 ，那么 \varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b) 。

    特别地，当 n 是奇数时 \varphi(2n) = \varphi(n) 。

  • n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)} 。

    利用 莫比乌斯反演 相关知识可以得出。

    也可以这样考虑：如果 \gcd(k, n) = d ，那么 \gcd(\dfrac{k}{d},\dfrac{n}{d}) = 1, （ k < n ） 。

    如果我们设 f(x) 表示 \gcd(k, n) = x 的数的个数，那么 n = \sum_{i = 1}^n{f(i)} 。

    根据上面的证明，我们发现， f(x) = \varphi(\dfrac{n}{x}) ，从而 n = \sum_{d \mid n}\varphi(\dfrac{n}{d}) 。注意到约数 d 和 \dfrac{n}{d} 具有对称性，所以上式化为 n = \sum_{d \mid n}\varphi(d) 。

  • 若 n = p^k ，其中 p 是质数，那么 \varphi(n) = p^k - p^{k - 1} 。 （根据定义可知）

  • 由唯一分解定理，设 n = \prod_{i=1}^{s}p_i^{k_i} ，其中 p_i 是质数，有 \varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}} 。

    证明：

    • 引理：设 p 为任意质数，那么 \varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1) 。

      证明：显然对于从 1 到 p^k 的所有数中，除了 p^{k-1} 个 p 的倍数以外其它数都与 p^k 互素，故 \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1) ，证毕。

    接下来我们证明 \varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}} 。由唯一分解定理与 \varphi(x) 函数的积性

\begin{aligned} \varphi(n) &= \prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \\ &= \prod_{i=1}^{s} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\ &=\prod_{i=1}^{s} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\ &=n~ \prod_{i=1}^{s} (1- \frac{1}{p_i}) &\square \end{aligned}

如何求欧拉函数值

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。这个过程可以用 Pollard Rho 算法优化。

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// C++ Version
int euler_phi(int n) {
  int m = int(sqrt(n + 0.5));
  int ans = n;
  for (int i = 2; i <= m; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

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# Python Version
def euler_phi(n):
    m = int(sqrt(n + 0.5))
    ans = n
    for i in range(2, m + 1):
        if n % i == 0:
            ans = ans // i * (i - 1)
            while n % i == 0:
                n = n // i
    if n > 1:
        ans = ans // n * (n - 1)
    return ans

注：如果将上面的程序改成如下形式，会提升一点效率：

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// C++ Version
int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

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# Python Version
def euler_phi(n):
    ans = n
    for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            ans = ans // i * (i - 1)
            while n % i == 0:
                n = n / i
    if n > 1:
        ans = ans // n * (n - 1)
    return ans

如果是多个数的欧拉函数值，可以利用后面会提到的线性筛法来求得。 详见：筛法求欧拉函数

欧拉定理

与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。其描述如下：

若 \gcd(a, m) = 1 ，则 a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m} 。

扩展欧拉定理

当然也有扩展欧拉定理

a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p) \end{cases} \pmod p

证明和 习题 详见 欧拉定理

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