符号

在学习数学的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。

渐进符号

请参见 复杂度。

整除/同余理论常见符号

  1. 整除符号： x\mid y ，表示 x 整除 y ，即 x 是 y 的因数。
  2. 取模符号： x\bmod y ，表示 x 除以 y 得到的余数。
  3. 互质符号： x\perp y ，表示 x ， y 互质。
  4. 最大公约数： \gcd(x,y) ，在无混淆意义的时侯可以写作 (x,y) 。
  5. 最小公倍数： \operatorname{lcm}(x,y) ，在无混淆意义的时侯可以写作 [x,y] 。

数论函数常见符号

求和符号： \sum 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子：

  • \sum_{i=1}^n i 表示 1+2+\dotsb+n 的和。其中 i 是一个变量，在求和符号的意义下 i 通常是 正整数或者非负整数（除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为， i 从 1 循环到 n ，所有 i 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2} 。
  • \sum_{S\subseteq T}|S| 表示所有被 T 包含的集合的大小的和。
  • \sum_{p\le n,p\perp n}1 表示的是 n 以内有多少个与 n 互质的数，即 \varphi(n) ， \varphi 是欧拉函数。

求积符号： \prod 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子：

  • \prod_{i=1}^ni 表示 n 的阶乘，即 n! 。在组合数学常见符号中会讲到。
  • \prod_{i=1}^na_i 表示 a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n 。
  • \prod_{x|d}x 表示 d 的所有因数的乘积。

在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。

其他常见符号

  1. 阶乘符号 ! ， n! 表示 1\times 2\times 3\times \dotsb \times n 。特别地， 0!=1 。
  2. 向下取整符号： \lfloor x\rfloor ，表示小于等于 x 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 \left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor 。
  3. 向上取整符号： \lceil x\rceil ，与向下取整符号相对，表示大于等于 x 的最小的整数。
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