数值积分

定积分的定义

简单来说，函数 f(x) 在区间 [l,r] 上的定积分 \int_{l}^{r}f(x)\mathrm{d}x 指的是 f(x) 在区间 [l,r] 中与 x 轴围成的区域的面积（其中 x 轴上方的部分为正值， x 轴下方的部分为负值）。

很多情况下，我们需要高效，准确地求出一个积分的近似值。下面介绍的 辛普森法，就是这样一种求数值积分的方法。

辛普森法

这个方法的思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算。

二次函数积分公式（辛普森公式）

对于一个二次函数 f(x)=Ax^2+Bx+C ，有：

\int_l^r f(x) {\mathrm d}x = \frac{(r-l)(f(l)+f(r)+4 f(\frac{l+r}{2}))}{6}

推导过程： 对于一个二次函数 f(x)=Ax^2+Bx+C ； 求积分可得 F(x)=\int_0^x f(x) {\mathrm d}x = \frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+D 在这里 D 是一个常数，那么

\begin{aligned} \int_l^r f(x) {\mathrm d}x &= F(r)-F(l) \\ &= \frac{a}{3}(r^3-l^3)+\frac{b}{2}(r^2-l^2)+c(r-l) \\ &=(r-l)(\frac{a}{3}(l^2+r^2+lr)+\frac{b}{2}(l+r)+c) \\ &=\frac{r-l}{6}(2al^2+2ar^2+2alr+3bl+3br+6c)\\ &=\frac{r-l}{6}((al^2+bl+c)+(ar^2+br+c)+4(a(\frac{l+r}{2})^2+b(\frac{l+r}{2})+c)) \\ &=\frac{r-l}{6}(f(l)+f(r)+4f(\frac{l+r}{2})) \end{aligned}

根据这个辛普森公式，我们先介绍一种普通的辛普森积分法。

普通辛普森法

1743 年，这种方法发表于托马斯·辛普森的一篇论文中。

描述

给定一个自然数 n ，将区间 [l, r] 分成 2n 个等长的区间 x 。

x_i = l + i h, ~~ i = 0 \ldots 2n, h = \frac {r-l} {2n}.

我们就可以计算每个小区间 [x_ {2i-2}, x_ {2i}] ， i = 1\ldots n 的积分值，将所有区间的积分值相加即为总积分。

对于 [x_ {2i-2}, x_ {2i}] ， i = 1\ldots n 的一个区间，选其中的三个点 (x_ {2i-2}, x_ {2i-1}, x_ {2i}) 就可以构成一条抛物线从而得到一个函数 P(x) ，这个函数存在且唯一。计算原函数在该区间的积分值就变成了计算新的二次函数 P(x) 在该段区间的积分值。这样我们就可以利用辛普森公式来近似计算它。

\int_{x_ {2i-2}} ^ {x_ {2i}} f (x) ~dx \approx \int_{x_ {2i-2}} ^ {x_ {2i}} P (x) ~dx = \left(f(x_{2i-2}) + 4f(x_{2i-1})+(f(x_{2i})\right)\frac {h} {3}

将其分段求和即可得到如下结论：

\int_l ^ r f (x) dx \approx \left(f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4f(x_3) + 2 f(x_4) + \ldots + 4 f(x_{2N-1}) + f(x_{2N}) \right)\frac {h} {3}

误差

我们直接给出结论，普通辛普森法的误差为：

-\tfrac{1}{90} \left(\tfrac{r-l}{2}\right)^5 f^{(4)}(\xi)

其中 \xi 是位于区间 [l,r] 的某个值。

实现

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// C++ Version
const int N = 1000 * 1000;

double simpson_integration(double a, double b) {
  double h = (b - a) / N;
  double s = f(a) + f(b);
  for (int i = 1; i <= N - 1; ++i) {
    double x = a + h * i;
    s += f(x) * ((i & 1) ? 4 : 2);
  }
  s *= h / 3;
  return s;
}

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# Python Version
N = 1000 * 1000

def simpson_integration(a, b):
    h = (b - a) / N
    s = f(a) + f(b)
    for i in range(1, N):
        x = a + h * i
        if i & 1:
            s = s + f(x) * 4
        else:
            s = s + f(x) * 2
    s = s * (h / 3)
    return s

自适应辛普森法

普通的方法为保证精度在时间方面无疑会受到 n 的限制，我们应该找一种更加合适的方法。

现在唯一的问题就是如何进行分段。如果段数少了计算误差就大，段数多了时间效率又会低。我们需要找到一个准确度和效率的平衡点。

我们这样考虑：假如有一段图像已经很接近二次函数的话，直接带入公式求积分，得到的值精度就很高了，不需要再继续分割这一段了。

于是我们有了这样一种分割方法：每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似的话就直接代入公式计算，否则将当前段分割成左右两段递归求解。

现在就剩下一个问题了：如果判断每一段和二次函数是否相似？

我们把当前段直接代入公式求积分，再将当前段从中点分割成两段，把这两段再直接代入公式求积分。如果当前段的积分和分割成两段后的积分之和相差很小的话，就可以认为当前段和二次函数很相似了，不用再递归分割了。

上面就是自适应辛普森法的思想。在分治判断的时候，除了判断精度是否正确，一般还要强制执行最少的迭代次数。

参考代码如下：

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// C++ Version
double simpson(double l, double r) {
  double mid = (l + r) / 2;
  return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6;  // 辛普森公式
}
double asr(double l, double r, double eqs, double ans, int step) {
  double mid = (l + r) / 2;
  double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);
  if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eqs && step < 0)
    return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;  // 足够相似的话就直接返回
  return asr(l, mid, eqs / 2, fl, step - 1) +
         asr(mid, r, eqs / 2, fr, step - 1);  // 否则分割成两段递归求解
}
double calc(double l, double r, double eps) {
  return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12);
}

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# Python Version
def simpson(l, r):
    mid = (l + r) / 2
    return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6 # 辛普森公式
def asr(l, r, eqs, ans, step):
    mid = (l + r) / 2
    fl = simpson(l, mid); fr = simpson(mid, r)
    if abs(fl + fr - ans) <= 15 * eqs and step < 0:
        return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15 # 足够相似的话就直接返回
    return asr(l, mid, eqs / 2, fl, step - 1) + \
           asr(mid, r, eqs / 2, fr, step - 1) # 否则分割成两段递归求解
def calc(l, r, eps):
    return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12)

习题

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