复数

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复数的引入，定义和分类¶

复数的引入¶

注：下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二。

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程有没有解。

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。

依照这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得。

思考：把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？

依照以上设想，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作。注意到所有实数以及都可以写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

复数的定义和分类¶

哇哦我们定义的数的性质这么好！

我们定义形如，其中的数叫做复数，其中被称为 虚数单位，全体复数的集合叫做 复数集。

复数通常用表示，即。这种形式被称为 复数的代数形式。其中称为复数的实部，称为复数的虚部。如无特殊说明，都有。

对于一个复数，当且仅当时，它是实数，当时，它是虚数，当且时，它是纯虚数。

纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。

复数的性质与运算¶

复数的几何意义¶

我们知道了这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。

我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。

首先我们定义 复数相等：两个复数是相等的，当且仅当且。

这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。

也就是说，我们可以用唯一的有序实数对表示一个复数。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了，我们找到了复数的一种几何意义。

那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面，轴称为实轴，轴称为虚轴。我们进一步地说：复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的。

我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对，显然，复数对应复平面内的点，那么它还对应平面向量，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数与零向量对应）。

于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数的模。

于是为了方便，我们常把复数称为点或向量，并规定相等的向量表示同一个复数。

并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。

复数的运算¶

复数的加法与减法¶

我们规定，复数的加法规则如下：

设，那么

很明显，两个复数的和仍为复数。

考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。

同样可以验证，复数的加法满足交换律和结合律。即：

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

这同样符合向量的减法运算。

复数的乘法与除法¶

我们规定，复数的乘法规则如下：

设，那么

可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把换成，并将实部与虚部分别合并即可。

复数确实与多项式有关，因为复数域是实系数多项式环模掉生成的理想。（这句话不明白其实也没有关系）

复数的乘法与向量的向量积形式类似，是由于复数集是数环。

于是容易知道，复数乘法满足交换律，结合律和对加法的分配律，即：

由于满足运算律，我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用。

除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：

为了分母实数化，我们乘了一个，这个式子很有意义。

我们定义，当两个虚数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为 共轭复数。通常记的共轭复数为。我们可以发现，两个复数互为共轭复数，那么它们 关于实轴对称。

由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系。

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