Eulerian Number

注意

下文中的欧拉数特指 Eulerian Number。注意与 Euler numbers，Euler's number 作区分。

在计算组合中，欧拉数（Eulerian Number）是从 1 到 n 中正好满足 m 个元素大于前一个元素（具有 m 个“上升”的排列）条件的排列 个数。定义为：

A(n, m) = \left\langle \begin{matrix} n\\ m - 1 \end{matrix} \right\rangle

例如，从数字 1 到 3 一共有 4 种排列使得恰好有一个元素比前面的数字大：

排列 满足要求的排列 个数
1 2 3 1, 2 & 2, 3 2
1 3 2 1, 3 1
2 1 3 1, 3 1
2 3 1 2, 3 1
3 1 2 1, 2 1
3 2 1 0

所以按照 A(n, m) 定义：如果 n 等于 3 , m 等于 1 ，欧拉数值为 4 ，表示共有 4 个有 1 个元素大于前一个元素的排列。

对于 n 和 m 值比较小的欧拉数来说，我们可以直接得到结果：

A(n, m) 满足要求的排列 个数
A(1, 0) (1) 1
A(2, 0) (2, 1) 1
A(2, 1) (1, 2) 1
A(3, 0) (3, 2, 1) 1
A(3, 1) (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) 4
A(3, 2) (1, 2, 3) 1

公式

可以通过递推或者递归的方法计算欧拉数。

首先，当 m \ge n 或 n = 0 时，没有满足条件的排列，即此时欧拉数为 0。

其次，当 m = 0 时，只有降序的排列满足条件，即此时欧拉数为 1。

最后，考虑在 n-1 的排列的基础上插入 n 从而得到 n 的排列，由于插入 n 至多使欧拉数增加 1，所以 A(n, m) 可以仅从 A(n-1, m-1) 处和 A(n-1, m) 处转移得到。

考虑 n 插入的位置：当 p_{i-1} < p_{i} 时，若将 n 插到 p_{i} 之前，即将 n 插入到 "上升" 中，排列的欧拉数不变；此外，将 n 插在排列之前，排列的欧拉数也不变；否则，若将 n 插到其余位置，排列的欧拉数增加 1。

考虑从 A(n-1, m-1) 转移到 A(n, m) ，此时需要使欧拉数增加 1，此时不能将 n 插在 "上升" 中或者排列开头，共有 n - (m-1) - 1 = n-m 种方案。

考虑从 A(n-1, m) 转移到 A(n, m) ，此时需要欧拉数保持不变，只能将 n 插在 "上升" 中或者排列开头，共 m+1 种方案。

综上所述，有

A(n, m) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & m > n \text{ or } n = 0 \\ 1 & m = 0 \\ (n-m) \cdot A(n-1, m-1) + (m+1) \cdot A(n-1, m) & \text{otherwise} \\ \end{array} \right.

实现

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// C++ Version
int eulerianNumber(int n, int m) {
  if (m >= n || n == 0) return 0;
  if (m == 0) return 1;
  return (((n - m) * eulerianNumber(n - 1, m - 1)) +
          ((m + 1) * eulerianNumber(n - 1, m)));
}

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# Python Version
def eulerianNumber(n, m):
    if m >= n or n == 0:
        return 0
    if m == 0:
        return 1
    return (((n - m) * eulerianNumber(n - 1, m - 1)) + \
            ((m + 1) * eulerianNumber(n - 1, m)))

习题

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