反演变换

反演变换适用于题目中存在多个圆/直线之间的相切关系的情况。利用反演变换的性质，在反演空间求解问题，可以大幅简化计算。

定义

给定反演中心点 O 和反演半径 R 。若平面上点 P 和 P' 满足：

  • 点 P' 在射线 \overrightarrow{OP} 上
  • |OP| \cdot |OP'| = R^2

则称点 P 和点 P' 互为反演点。

下图所示即为平面上一点 P 的反演：

Inv1

性质

  1. 圆 O 外的点的反演点在圆 O 内，反之亦然；圆 O 上的点的反演点为其自身。

  2. 不过点 O 的圆 A ，其反演图形也是不过点 O 的圆。

    Inv2

    • 记圆 A 半径为 r_1 ，其反演图形圆 B 半径为 r_2 ，则有：

      r_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{|OA| - r_1} - \frac{1}{|OA| + r_1}\right) R^2

      证明：

      Inv3

      根据反演变换定义：

      |OC|\cdot|OC'| = (|OA|+r_1)\cdot(|OB|-r_2) = R^2 \\ |OD|\cdot|OD'| = (|OA|-r_1)\cdot(|OB|+r_2) = R^2

      消掉 |OB| ，解方程即可。

    • 记点 O 坐标为 (x_0, y_0) ，点 A 坐标为 x_1, y_1 ，点 B 坐标为 x_2, y_2 ，则有：

      x_2 = x_0 + \frac{|OB|}{|OA|} (x_1 - x_0) \\ y_2 = y_0 + \frac{|OB|}{|OA|} (y_1 - y_0)

      其中 |OB| 可在上述求 r_2 的过程中计算得到。

  3. 过点 O 的圆 A ，其反演图形是不过点 O 的直线。

    Note

    为什么是一条直线呢？因为圆 A 上无限接近点 O 的一点，其反演点离点 O 无限远。

    Inv4

  4. 两个图形相切，则他们的反演图形也相切。

例题

「ICPC 2013 杭州赛区」Problem of Apollonius

题目大意

求过两圆外一点，且与两圆相切的所有的圆。

解法

首先考虑解析几何解法，似乎很难求解。

考虑以需要经过的点为反演中心进行反演（反演半径任意），所求的圆的反演图形是一条直线（应用性质 3 ），且与题目给出两圆的反演图形（性质 2 ）相切（性质 4 ）。

于是题目经过反演变换后转变为：求两圆的所有公切线。

求出公切线后，反演回原平面即可。

示例代码 
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#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const double EPS = 1e-8;       // 精度系数
const double PI = acos(-1.0);  // π
const int N = 4;

struct Point {
  double x, y;
  Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
  const bool operator<(Point A) const { return x == A.x ? y < A.y : x < A.x; }
};  // 点的定义

typedef Point Vector;  // 向量的定义

Vector operator+(Vector A, Vector B) {
  return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y);
}  // 向量加法
Vector operator-(Vector A, Vector B) {
  return Vector(A.x - B.x, A.y - B.y);
}  // 向量减法
Vector operator*(Vector A, double p) {
  return Vector(A.x * p, A.y * p);
}  // 向量数乘
Vector operator/(Vector A, double p) {
  return Vector(A.x / p, A.y / p);
}  // 向量数除

int dcmp(double x) {
  if (fabs(x) < EPS)
    return 0;
  else
    return x < 0 ? -1 : 1;
}  // 与0的关系

double Dot(Vector A, Vector B) { return A.x * B.x + A.y * B.y; }  // 向量点乘
double Length(Vector A) { return sqrt(Dot(A, A)); }  // 向量长度
double Cross(Vector A, Vector B) { return A.x * B.y - A.y * B.x; }  // 向量叉乘

Point GetLineProjection(Point P, Point A, Point B) {
  Vector v = B - A;
  return A + v * (Dot(v, P - A) / Dot(v, v));
}  // 点在直线上投影

struct Circle {
  Point c;
  double r;
  Circle() : c(Point(0, 0)), r(0) {}
  Circle(Point c, double r = 0) : c(c), r(r) {}
  Point point(double a) {
    return Point(c.x + cos(a) * r, c.y + sin(a) * r);
  }  // 输入极角返回点坐标
};   // 圆

// a[i] 和 b[i] 分别是第i条切线在圆A和圆B上的切点
int getTangents(Circle A, Circle B, Point* a, Point* b) {
  int cnt = 0;
  if (A.r < B.r) {
    swap(A, B);
    swap(a, b);
  }
  double d2 =
      (A.c.x - B.c.x) * (A.c.x - B.c.x) + (A.c.y - B.c.y) * (A.c.y - B.c.y);
  double rdiff = A.r - B.r;
  double rsum = A.r + B.r;
  if (dcmp(d2 - rdiff * rdiff) < 0) return 0;  // 内含

  double base = atan2(B.c.y - A.c.y, B.c.x - A.c.x);
  if (dcmp(d2) == 0 && dcmp(A.r - B.r) == 0) return -1;  // 无限多条切线
  if (dcmp(d2 - rdiff * rdiff) == 0) {  // 内切，一条切线
    a[cnt] = A.point(base);
    b[cnt] = B.point(base);
    ++cnt;
    return 1;
  }
  // 有外公切线
  double ang = acos(rdiff / sqrt(d2));
  a[cnt] = A.point(base + ang);
  b[cnt] = B.point(base + ang);
  ++cnt;
  a[cnt] = A.point(base - ang);
  b[cnt] = B.point(base - ang);
  ++cnt;
  if (dcmp(d2 - rsum * rsum) == 0) {  // 一条内公切线
    a[cnt] = A.point(base);
    b[cnt] = B.point(PI + base);
    ++cnt;
  } else if (dcmp(d2 - rsum * rsum) > 0) {  // 两条内公切线
    double ang = acos(rsum / sqrt(d2));
    a[cnt] = A.point(base + ang);
    b[cnt] = B.point(PI + base + ang);
    ++cnt;
    a[cnt] = A.point(base - ang);
    b[cnt] = B.point(PI + base - ang);
    ++cnt;
  }
  return cnt;
}  // 两圆公切线 返回切线的条数，-1表示无穷多条切线

Circle Inversion_C2C(Point O, double R, Circle A) {
  double OA = Length(A.c - O);
  double RB = 0.5 * ((1 / (OA - A.r)) - (1 / (OA + A.r))) * R * R;
  double OB = OA * RB / A.r;
  double Bx = O.x + (A.c.x - O.x) * OB / OA;
  double By = O.y + (A.c.y - O.y) * OB / OA;
  return Circle(Point(Bx, By), RB);
}  // 点 O 在圆 A 外，求圆 A 的反演圆 B，R 是反演半径

Circle Inversion_L2C(Point O, double R, Point A, Vector v) {
  Point P = GetLineProjection(O, A, A + v);
  double d = Length(O - P);
  double RB = R * R / (2 * d);
  Vector VB = (P - O) / d * RB;
  return Circle(O + VB, RB);
}  // 直线反演为过 O 点的圆 B，R 是反演半径

bool theSameSideOfLine(Point A, Point B, Point S, Vector v) {
  return dcmp(Cross(A - S, v)) * dcmp(Cross(B - S, v)) > 0;
}  // 返回 true 如果 A B 两点在直线同侧

int main() {
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    Circle A, B;
    Point P;
    scanf("%lf%lf%lf", &A.c.x, &A.c.y, &A.r);
    scanf("%lf%lf%lf", &B.c.x, &B.c.y, &B.r);
    scanf("%lf%lf", &P.x, &P.y);
    Circle NA = Inversion_C2C(P, 10, A);
    Circle NB = Inversion_C2C(P, 10, B);
    Point LA[N], LB[N];
    Circle ansC[N];
    int q = getTangents(NA, NB, LA, LB), ans = 0;
    for (int i = 0; i < q; ++i)
      if (theSameSideOfLine(NA.c, NB.c, LA[i], LB[i] - LA[i])) {
        if (!theSameSideOfLine(P, NA.c, LA[i], LB[i] - LA[i])) continue;
        ansC[ans++] = Inversion_L2C(P, 10, LA[i], LB[i] - LA[i]);
      }
    printf("%d\n", ans);
    for (int i = 0; i < ans; ++i) {
      printf("%.8f %.8f %.8f\n", ansC[i].c.x, ansC[i].c.y, ansC[i].r);
    }
  }

  return 0;
}

练习

「ICPC 2017 南宁赛区网络赛」Finding the Radius for an Inserted Circle

「CCPC 2017 网络赛」The Designer

参考资料与拓展阅读

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